Анатолий Кот родился 5 июня 1973 года в столице Белорусской ССР — городе Минске, в многодетной семье. Отец — электрик, владел ещё несколькими рабочими профессиями, имел «золотые руки» и инженерное мышление. Мать — химик-винодел, всю жизнь проработала в лаборатории на Минском водоканале. Анатолий является четвёртым ребёнком (из пяти) в семье. Имеет двух братьев и двух сестёр. Старший брат Иван окончил военное училище с красным дипломом и петербургскую академию с красным дипломом. Средний брат Игорь тоже окончил военное училище. Старшая сестра — художник, живёт в Подмосковье, младшая — актриса кукольного театра в Минске.
С детства Анатолий много читал, занимался в различных театральных кружках, мечтал стать актёром. В школе учился не очень хорошо — был троечником.
В 1990 году окончил минскую среднюю школу № 136 с театральным уклоном и отправился в Москву поступать в Высшее театральное училище имени Б. В. Щукина. При поступлении «слетел» со второго тура, вернулся в Минск и поступил в Белорусскую академию искусств с надеждой на то, что после первого курса переведётся в Щукинское училище, о котором мечтал, тем более такая возможность тогда была. Но после распада СССР мечте не суждено было сбыться и Анатолий продолжил учёбу в Минске.
В 1994 году окончил Белорусскую академию искусств (мастерская А. Каляды) в Минске.
Накануне получения Анатолием диплома академии художественный руководитель минского театра «Вольная сцена» Валерий Евгеньевич Мазынский пригласил его в свой театр, где Кот был занят в основных спектаклях «Ричард III» (Кларенс) режиссёра В. Анисенко и «Карьера Артуро Уи» (Дживола) режиссёра Валерия Мазынского. Работал также в других минских театрах: в Молодёжном театре («Ромео и Джульетта» (Меркуцио) режиссёра М. Дударева), Театре кукол («Вишнёвый сад» (Лопахин) режиссёра А. Лелявского), Театре-студии киноактёра, в антрепризных (частных) проектах.
Затем в Минске начал изучать на курсах немецкий язык. Благодаря сотрудничеству с Институтом имени Гёте (Мюнхен) оказался в Германии. В муниципальном театре города Меммингена на немецком языке играл роль Андрия в спектакле «Семейные истории. Белград». В 2000 году исполнил роль Орфея в музыкальном проекте режиссёра Л. Шмидта «Орфей и Эвридика» по пьесе Евстигнея Фомина, а в 2004 году — роль Поприщина в моноспектакле режиссёра Моники Добровлянски «Записки сумасшедшего» по одноимённой повести Николая Гоголя в театре «Тахелес», в Берлине.
Помимо работы на сцене, с 1993 года Анатолий Кот постоянно работает на FM-радио, где занимал самые разные должности — от диджея до директора.
C 2005 года по настоящее время служит в труппе Московского драматического театра под руководством Армена Джигарханяна.
В кино актёр приобрёл популярность благодаря роли князя Владимира Друцкого в исторической ленте «Анастасия Слуцкая» (2003), которая была высоко оценена на различных кинофестивалях. Также в 2003 году снялся в неоднозначной военной драме Андрея Кудиненко «Оккупация. Мистерии», которая была запрещена к показу в Белоруссии.
В России актёр стал известен широкой зрительской аудитории благодаря роли подполковника Шкалина в комедийном сериале «Солдаты» телекомпании «РЕН ТВ» и роли одного из медбратьев в ситкоме «Ускоренная помощь». Выступает преимущественно в ролях отрицательных персонажей.