Данила Козловский родился 3 мая 1985 года в Москве.
Отец — Валерий Иванович Козловский (род. 1946), заслуженный работник культуры Российской Федерации, доктор философских наук, профессор Московского государственного института культуры (МГИКа); принимал участие в создании кафедры рекламы в этом вузе, а также первой в России высшей школы рекламы, первого Российского студенческого фестиваля социальной рекламы.
Мать — Надежда Николаевна Звенигородская (род. 26 июля 1951), актриса, окончила Высшее театральное училище имени Б. В. Щукина в Москве, работала в Москонцерте, в 1990-е годы оставила карьеру и занялась воспитанием троих сыновей, в настоящее время снимается в рекламе и кино. Родители развелись, когда Козловский был маленьким. Есть ещё старший брат Егор и младший Иван.
В детстве недолго учился в балетной школе. В течение шести лет проходил учёбу в Кронштадтском морском кадетском военном корпусе (КМКВК), окончив его в 2002 году.
В кино начал сниматься ещё в 1999 году. Дебютной стала роль хулигана-шестиклассника Дениса Селивёрстова в молодёжном телесериале «Простые истины».
После окончания учёбы в кадетском корпусе поступил на факультет актёрского искусства и режиссуры Санкт-Петербургской государственной академии театрального искусства (СПбГАТИ) на курс под руководством Льва Абрамовича Додина. Во время учёбы в академии приобрёл навыки игры на альтовом саксофоне. Сразу после окончания СПбГАТИ в 2007 году вошёл в состав Молодой студии Академического Малого драматического театра — Театра Европы в Санкт-Петербурге под руководством Льва Додина, а в 2012 году приглашён в труппу этого театра, где занят в спектаклях «Коварство и любовь» по одноимённой драме Фридриха Шиллера в роли Фердинанда, «Вишнёвый сад» по одноимённой пьесе А. П. Чехова в роли Ермолая Лопахина и «Гамлет» Уильяма Шекспира в роли Гамлета.
В 2005 году стал лауреатом кинопремии «Белый слон» Гильдии киноведов и кинокритиков России в номинации «Лучшая мужская роль» за 2005 год за исполнение роли Николая в художественном фильме «Гарпастум» режиссёра Алексея Германа-младшего.
В 2014 году состоялся голливудский дебют Козловского в фильме Марка Уотерса «Академия вампиров», созданном по серии книг Райчел Мид. Козловский сыграл Дмитрия Беликова — наставника одной из героинь фильма.
В 2014 году снялся в рекламном видеоролике французской компании «Chanel» с актрисой Кирой Найтли.
20 мая 2015 года Козловский выступил на новой сцене Большого театра в Москве с сольным концертом-спектаклем «Большая мечта обыкновенного человека», где исполнил свою давнюю мечту — под аккомпанемент оркестра «Фонограф-Симфо-Джаз» спел хиты классиков американского эстрадно-джазового вокала 1930-х—1950-х годов Фрэнка Синатры, Тони Беннета, Дина Мартина, Нэта Кинга Коула. Продюсером шоу выступил Филипп Киркоров. Впервые же «Большую мечту» актёр показал в Санкт-Петербурге в начале мая 2015 года — на сцене Александринского театра.
21 января 2016 года состоялась премьера комедийного фильма режиссёра Павла Руминова «Статус: Свободен», в котором Козловский сыграл главную роль и выступил в качестве продюсера.
В июле 2016 года стал соавтором сценария и одним из продюсеров режиссёрского дебюта своей девушки Ольги Зуевой — драматического криминального фильма «На районе» (2018), в котором исполнил роль главного героя.
В августе 2016 года начал работу в качестве режиссёра над спортивной художественной драмой «Тренер», в которой сыграл главную роль бывшего бомбардира национальной сборной по футболу Юрия Столешникова, ставшего тренером провинциальной команды. Стал также одним из продюсеров и авторов сценария.
В 2017 году сыграл роль графа Воронцова в скандальном российском историческом художественном фильме «Матильда» режиссёра Алексея Учителя.
В марте 2017 года Козловский был объявлен официальным послом чемпионата мира по футболу 2018 года в России.
30 марта 2017 года учредил компанию по производству кинофильмов, видеофильмов и телевизионных программ — ООО «ДК Интертеймент» (Москва, размер доли — 100 %).
Осенью 2017 года снялся в роли Вещего Олега в шестом сезоне канадско-ирландского исторического телесериала «Викинги».
В декабре 2018 года рассказал о планах снять новый художественный фильм, основанный на реальных исторических событиях. В это же время приступил к кастингу актёрского состава. Вышедший в 2021 фильм «Чернобыль» получил неоднозначные оценки критики.
