Спектор родился в Санта-Розе, в Северной Калифорнии, и вырос около Гернвиля. В возрасте 8 лет он впервые выступал в общественном театре; а позже он выступал в школьных и студенческих постановках. После окончания Рид-колледжа в Портленде, Орегоне, он поступил в актёрскую школу Театра американской консерватории в Сан-Франциско, а затем продолжил работать в региональном театре, в том числе в гастролях «Короля Льва». Он переехал в Нью-Йорк в 2006 году.
В 2010 году Спектор дебютировал на Бродвее в роли Родольфо в постановке Грегори Мошера пьесы «Вид с моста» Артура Миллера — роль, которую его позвали сыграть (он изначально получил маленькую роль грузчика), когда актёр, который должен был сыграть эту роль, был ранен во время предпоказов. В 2012 году он сыграл роль Бориса в постановке «Русского транспорта» Эрики Шеффер.
В 2014 году он, вместе с Ребеккой Холл, появился в бродвейской постановке пьесы «Machinal» Софи Тредвелл. Позже, после свадьбы Спектора и Холл, они снова появились вместе на сцене в Нью-Йорке, в постановке пьесы «Животное» Клэр Лиззимор в 2017 году.