Евгений Червяков родился в селе Абдулино Самарской губернии в 1899 году. Учился в мужской гимназии. В 1917 году в составе Красной гвардии принял участие в нескольких боях. В 1918 году отучился на актёрском отделении драматургической школы Уфы и с 1919 по 1921 год служил в рабочем театре Ейска. В 1924 году переехал в Ленинград, где работал актёром и ассистентом режиссёра «Севзапкино». Одновременно продолжал учиться и в 1925 году окончил Государственный техникум кинематографии (ныне — ВГИК).
С конца 1920-х работал первым режиссёром, поставил такие фильмы, как «Девушка с далёкой реки» (1927 год) и «Поэт и царь» (1927 год, совместно с Владимиром Гардиным). Последняя работа — не только первый фильм о Пушкине, но и первая советская кинопостановка на историко-биографическую тематику:
В. Гардину и Е. Червякову предстояло впервые порвать с традициями буржуазного биографического фильма. Они насытили свой сценарий социальными мотивировками, подчеркнули глубокий конфликт, существующий между Пушкиным и царским режимом. Они оттенили гражданскую, тираноборческую линию в судьбе великого национального поэта. Этим они проложили дорогу не только другим пушкинским фильмам, но и аналогичным кинопроизведениям из жизни замечательных людей, которые и теперь у нас снимаются
Отсутствие опыта в воплощении этого жанра сказалось как на художественных качествах, так и на исторической достоверности фильма. Как серьёзный недостаток постановки критиками часто упоминается отсутствие портретного сходства Евгения Червякова с А. С. Пушкиным, роль которого тот исполнил в картине сам. При этом большинство источников считают, что «фильм имел известное культурно-просветительное значение, привлекал зрителя своей темой и был одной из наиболее посещаемых картин тех лет».
Александр Довженко очень высоко отзывался о творчестве Евгения Червякова: «Он первый создал у нас лирический жанр, и я много у него воспринял». Работу в кино совмещал с преподаванием в Институте сценических искусств. Среди его учеников Илья Фрез, Сергей Поначевный, Леонид Кмит и другие.
Начало Великой Отечественной войны застало Евгения Червякова в Ленинграде. Вместе со студией «Ленфильм» он подлежал эвакуации, но написал заявление с просьбой оставить его для участия в защите города. В 1941 году режиссёр выпустил сюжет «У старой няни» для Боевого киносборника № 2 (август 1941 года), а также в качестве актёра снялся в главной роли сюжета «Случай на телеграфе» (французский император посылает Гитлеру телеграмму: «Не советую зпт пробовал зпт не вышло тчк Наполеон»).
В начале осени 1941 года Евгений Червяков ушёл на фронт. Был младшим командиром, помощником командира взвода. С 18 ноября 1941 года обучался на краткосрочных командирских курсах.
В декабре 1941 года назначен командиром стрелковой роты 163-го стрелкового полка, 11-й стрелковой дивизии, 54-й армии, в звании лейтенанта.
16 февраля 1942 года в бою получил пулевое ранение живота, попал в 94-й медсанбат 54-й армии, где скончался 17-го (в ряде источников 19-го) февраля 1942 года.
В мае 1964 года его прах был перенесён в братскую могилу мемориала в посёлке Новая Малукса Ленинградской области, а имя увековечено на мемориальной плите.