Алексей Адольфович Кирющенко родился в Харькове в семье чиновника Адольфа Николаевича Кирющенко.
В 9-10 классах учился в СШ № 1 г. Павлограда Днепропетровской области. В 1981 году после окончания Павлоградской десятилетки Алексей поступил в Днепропетровское театральное училище. Жил с матерью и братом-музыкантом в жилом массиве Победа.
В театральном училище мастером курса у Кирющенко была заслуженный работник культуры Нелли Михайловна Пинская, а классным руководителем — Лариса Ивановна Луговая, преподаватель истории театра и зарубежной литературы. С обеими женщинами актёр долгие годы поддерживал тёплые отношения, хотя училище и не окончил, уехав в 1987 году, после третьего курса, в Москву.
Директор училища Николай Михайлович Карпенко рассказывал:
— Алексей с первых шагов проявил себя как человек с аналитическим складом ума, склонный к самостоятельной работе. Режиссура была его кредо. В актёрском плане он не отличался таким фонтаном выдумок и энергии, как, скажем, Сергей Гармаш (тоже учившийся в днепропетровском театральном и, по стечению обстоятельств, тоже сыгравший капитана Милягу в фильме про Ивана Чонкина 1994 года выпуска), но в творчестве был гениален. Запомнилась курсовая работа Лёши под названием «Осенняя скука». Прекрасно поставленная комедия, но с ней произошёл курьёз. В то время училище проверяла комиссия, и главой её был человек, далёкий от искусства. Просмотрев спектакль, он не поленился перелистать пьесу и на другой день говорит мне: «Что тут у вас творится? Вот смотрите: тут написано про старого барина с большой подушкой, а у вас на сцену вышел молодой студент с маленькой подушечкой. Это же форменное безобразие».
Пришлось обращаться в управление культуры, чтобы чиновника заменили на более компетентного. Курьёз уладили, и всё стало на свои места.
Алексей Кирющенко запомнился преподавателям, как тонкий лирик и неискоренимый романтик. Первой его любовью стала тоже студентка днепропетровского театрального училища Оксана Байдаченко, за которой он ухаживал трепетно и долго. В Москве они поженились, Оксана стала артисткой России, но, увы, совместная жизнь у служителей «театра теней» не сложилась.
В 1991 году Алексей окончил актёрско-режиссёрское отделение Щукинского театрального училища.
С 1991 года снимается в кино. C 1991 по 2001 гг. работал актёром театра им. Вахтангова и режиссёром в театре на Таганке, театре им. Рубена Симонова и театре «Содружество актёров Таганки».
С 2001 года стал художественным руководителем Московского Театра Комедии (Москва).
С 2004 года заявил себя как кинорежиссёр в проекте «Моя прекрасная няня».
В 2015 году во время съёмок сериала «Слуга народа» получил вид на жительство на Украине, потому что «постоянно здесь работает».
В 2016 году в Москве на Садовом кольце из автомобиля Алексея Кирющенко были похищены творческие записи и рабочий ноутбук со сценариями будущих фильмов, в том числе сценарий к фильму «Между нами, девочками — 2».
