Родился в семье шахтёра Александра Костюкова, работавшего на шахте Первомайская бригадиром. Позже семья переехала в город Киселёвск, а затем в Берёзовский. Там Сытый учился в школе №16. Окончил горно-электромеханический факультет Политехнического института. Одновременно играл в команде КВН «Сибирские богатыри». Играл в рок-группе «СкладЫ», где был вокалистом и автором песен.
С 1991 года работал в театре «Ложа», организованным Евгением Гришковцом. Принимал участие практически во всех постановках театра. В 2014 году режиссёр МХАТа Александр Молочников пригласил Сытого на роль эрцгерцога Франца Фердинанда в работе «19.14»; в том же спектакле он сыграл роли француза и отца немецкого солдата. В 2016 году стал постоянным членом труппы МХАТа.
С 2003 года снимался в кино. Дебютом стала эпизодическая роль в фильме «Коктебель». В 2006 году впервые сыграл главную роль в кино — в фильме «Свободное плавание». Позже снимался в главных ролях в фильмах «Сумасшедшая помощь», «Жить», «Пока ночь не разлучит», «Долгая счастливая жизнь» и других. В 2017 году снялся в роли слуги Якима в фильме «Гоголь. Начало».
В 1999 году дебютировал в роли театрального режиссёра в спектакле «Угольный бассейн».
В лице Сытого страна может получить актёра уровня Леонова. Дарование огромное. Но Сытому нужен режиссёр. Который не подпадёт под его народное обаяние (а всё, что Женя ни сделай — обаятельно). Который не станет каждую секунду радоваться его самобытности и соглашаться со всем, что Женя предложит (а он может в течение съёмочного дня предложить 50 вариантов). Сытого дисциплинировать надо. Он артист, идеями фонтанирующий, но дикий — может сыграть что-то удивительное, и не заметить этого, не запомнить. Сытый очень естественен и в жизни, и в кино. Он документален. Он будто не замечает, что рядом стоит камера. То же и на сцене — будто нет никаких зрителей. То же и по отношению к ролям — он очень чует текст. Не думаю, что стоит делать из Сытого только народного персонажа. Ведь и Леонов лучше всего прозвучал в несвойственном материале — «Старший сын», «Слёзы капали», «Мимино». С Сытым то же самое. Если ему Эдгара По дать — тогда да, он может быть очень даже драматичным.
