Госсетт родился в нью-йоркском Бруклине. Свою первую роль сыграл в школьном спектакле «С собой не унесёшь» после того, как травма ноги помешала его игре в баскетбол. В 1952 году за постановку «Сделай гигантский шаг» Госсетт получил премию Дональдсона «Лучший новичок в театре».
В 1953 году, в возрасте 19 лет, был выбран среди двухсот актёров на роль в бродвейском шоу «Сделай большой шаг». Постановка имела большой успех и вошла в десятку лучших шоу года, а Госсетт получил приз за лучший дебют года.
После окончания средней школы имени Авраама Линкольна в 1954 году он поступил в Нью-Йоркский университет. Благодаря своему высокому росту (193 см) получил предложение от баскетбольной команды университета, но решил полностью посвятить себя театру.