Антон Калинкин родился 6 сентября 1969 года в Москве. В 1990 году, после службы в рядах Вооружённых сил, открыл компанию «Парсек синема», которая занималась производством телевизионного рекламного продукта и телевизионных программ.
С 1996 года — продюсер, руководитель производственного отдела продюсерского медиацентра «ИВАН!».
С 2002 по 2005 года — генеральный директор ООО «Продакшн бюро Выход» (производство телевизионных проектов, культурно-массовых и зрелищных мероприятий).
В 2005—2006 годах работал заместителем программного директора, руководителем службы линейных продюсеров телекомпании НТВ.
С 2006 года по настоящее время руководит компанией «Студия RED CARPET».
В ноябре 2018 года прошла первая Церемония вручения призов в области веб-индустрии, которая была учреждена Антоном Калинкиным. Премия является профессиональным призом, присуждаемым за достижения в сфере производства, продвижения и популяризации веб-контента.
В 2019 году выступил в качестве организатора первого в России фестиваля экранизаций «Читка».
В 2020 году Калинкин стал генеральным продюсером первого в России веб-кинотеатра «CHILL». На сегодняшний день на платформе более 200 единиц контента с хронометражем от 1 до 15 минут.
В 2021 году, по итогам встречи министра культуры Российской Федерации Ольги Любимовой и Антона Калинкина, посвящённой молодёжному контенту, компания Red Carpet Studio, которую возглавляет Калинкин, получила эксклюзивные права на проведение фестиваля короткометражного кино «Короче».
Член Гильдии продюсеров России.
