Юрий Демич, сын актёра Московского театра имени Ермоловой Александра Демича, родился в Магадане, где его отец с 1937 года отбывал срок.
После освобождения и реабилитации Александр Демич не захотел возвращаться в Москву, и семья поселилась в Куйбышеве. Юрий Демич поступил в студию при Куйбышевском театре драмы им. М. Горького, которую окончил 1966 году. Ещё до окончания студии, в 1964 году, был принят в труппу театра; одновременно продолжал учёбу в ГИТИСе (окончил его в 1971 году).
В Куйбышевском театре драмы им. М. Горького Юрий Демич заставил говорить о себе, сыграв Гамлета, и в 1973 году получил приглашение в Ленинградский Большой драматический театр, где уже в первый сезон привлёк к себе внимание критиков и зрителей, сыграв Пашку в пьесе А. Вампилова «Прошлым летом в Чулимске», а затем главную роль в одном из программных спектаклей Г. А. Товстоногова — «Три мешка сорной пшеницы». Успех на театральной сцене повлёк за собой и многочисленные предложения от кинорежиссёров.
В 1986 году актёр на «Ленфильме» участвовал в озвучке фильма «Ва-банк 2», роль Густава Крамера в исполнении Леонарда Петрашака.
В 1988 году актёр переехал в Москву и последние годы выступал на сцене Театра имени М. Н. Ермоловой.
Скончался в Москве 24 декабря 1990 года из-за сильного кровотечения вследствие разрыва вен пищевода. Похоронен на Ваганьковском кладбище.
