Родился 1 марта 1937 в селе Мокра Рыбницкого района Молдавской АССР (ныне под контролем непризнанной Приднестровской Молдавской Республики). Будучи ещё ребёнком, Евгений любил слушать сельский оркестр, пытался что-то придумывать для него.
После окончания семилетней школы отправился в Кишинёв, где с 1951 по 1955 год обучался в Музыкальном училище имени Штефана Няги (ныне Музыкальный колледж имени Штефана Няги) по классу виолончели. Директор училища Д. Г. Гершфельд не только принял его, несмотря на полное отсутствие предварительной подготовки, но и поселил поначалу в своей квартире.
В 1959 году дебютировал в качестве аранжировщика в оркестре молдавской народной музыки «Тарафул» под управлением Исидора Бурдина.
В 1960 году окончил Кишинёвскую консерваторию имени Г. Музическу (ныне Академия музыки, театра и изобразительных искусств) по классу виолончели у Г. С. Хохлова, в 1965 году — по классу композиции у С. М. Лобеля и М. Р. Копытмана.
В 1957—1962 годах — артист оркестра Молдавского радио и телевидения. Параллельно с учёбой занимался оркестровкой сочинений молдавских композиторов и полупрофессионалов, а также классиков, таких как Э. Григ, Д. Шостакович и А. Хачатурян. Карьере музыканта помешал паралич левой руки.
1 января 1957 года впервые его произведение «Новогодняя песня» (Cântec de anul nou) было исполнено на молдавском радио детским хором и оркестром под управлением Ш. Аранова. Осенью того же года его однокурсница, будущая оперная примадонна Мария Биешу дебютировала с его песней «Белый цветок сада» (Floare albă de livadă) на молдавском телевидении. В 1963 году создал свой первый струнный квартет.
После окончания консерватории два года не писал музыку, увлёкся теорией музыки, написал и издал учебник для студентов.
В 1962—1967 годах преподавал композицию в Музыкальном училище имени Ш. Няги, а в Музыкальном училище имени Е. Коки — теорию музыки. В эти же годы работал музыкальным редактором в издательстве «Книга Молдовы» (Кишинёв).
С 1977 года читал курс лекций «Работа с композитором» для слушателей Высших курсов сценаристов и режиссёров
Кроме композиторского творчества постоянно занимался концертной и общественной деятельностью.
22 октября 1998 года получил гражданство Российской Федерации.
В 2012 году состоялись юбилейные концерты в Большом зале Московской консерватории, концертном зале Ateneul Român («Румынский Атениум») в Бухаресте, Национальном дворце в Кишинёве, в 2013 — Казахстане, в 2014 — Томске, Ставрополе, Яссах, парке искусств Titan в Бухаресте и другие.
В 2014 году его вальс «Граммофон» исполнялся в зале «Ateneul Român» на ежегодном награждении Румынской академии за выдающиеся достижения в области культуры, науки и образования наряду с произведениями В. А. Моцарта, Дж. Энеску, И. Штрауса и А. Бородина.
2007 и 2017 годы, когда композитор отмечал свои 70-летний и 80-летний юбилеи, были провозглашены в Молдове Годом Евгения Доги.
Евгений Дога скончался 3 июня 2025 года в Кишинёве на 89-м году жизни от острой сердечной недостаточности на фоне онкологического заболевания.
5 июня 2025 года в Молдавии был объявлен днём национального траура. Похоронен на центральном кладбище Кишинёва.
