Родился 12 июля 1963 года в Москве в семье актёра и театрального деятеля Юрия Домогарова.
В 1984 году окончил Высшее театральное училище имени М. С. Щепкина (руководитель курса — Виктор Коршунов).
С 1984 по 1985 годы играл в Малом театре в Москве.
С 1985 по 1995 год — актёр Центрального академического театра Советской армии (с 1993 года — Центральный академический театр Российской армии (ЦАТРА)).
С 1995 по 2022 года являлся актёром Государственного академического театра имени Моссовета. На этой сцене сыграл заглавные роли в спектаклях «Мой бедный Марат», «Сирано де Бержерак», а также обе заглавные роли в музыкальном спектакле «Странная история доктора Джекила и мистера Хайда» (российская версия бродвейского мюзикла «Джекил и Хайд»), где исполнял сложные вокальные партии. В настоящий момент занят в трилогии Андрея Кончаловского: играет Астрова, Вершинина и Гаева в спектаклях соответственно «Дядя Ваня», «Три сестры» и «Вишнёвый сад». 13 сентября 2020 года состоялась премьера спектакля «Ричард III» режиссёра Нины Чу́совой, где Александр Домогаров предстал в заглавной роли.
Принимал участие и в постановках других театров: заглавные роли в спектаклях «Нижинский, сумасшедший божий клоун» в Московском драматическом театре на Малой Бронной и «Макбет» в Краковском театре «Багателла», причём на польском языке. В качестве приглашённого артиста в 2019—2020 годах работал в МХАТ имени Горького.
В кино снимается с 1984 года, дебютировав в картине «Наследство» режиссёра Георгия Натансона. Известность ему принесла роль Павла Горина в историко-приключенческой картине Светланы Дружининой «Гардемарины III» (1992).
Большую популярность приобрёл после выхода исторического телесериала «Графиня де Монсоро» (1997), где сыграл главную роль — графа де Бюсси. Успехом пользовались детективно-приключенческие сериалы — «Марш Турецкого» (2000—2007) и «Бандитский Петербург» (2000—2003).
Снимался у польского режиссёра Ежи Гофмана в телесериале «Огнём и мечом» (1999), в котором сыграл полковника Войска Запорожского Юрко Богуна (прообраз — Иван Богун). В Польше также снялся в телесериале «Волна преступности» (2003—2008), в фильмах «Одна июньская ночь» (2001) режиссёра Анджея Вайды, «На краю света» (1999) Магдалены Лазаркевич и «Варшавская битва. 1920» (2011) режиссёра Ежи Гофмана, а в Швеции — в картине «Ныряльщик» (2001) режиссёра Эрика Густавсона.
Творческому пути и личной жизни актёра посвящены документальные фильмы «Лицо Домогарова» (Фильм Ильдара Жандарева и Бориса Бермана из цикла «Интересное кино», 2003 г.), «Мой серебряный шар. Александр Домогаров» (Авторская программа Виталия Вульфа, 2005 г.), «Александр Домогаров. Исповедь одинокого мужчины» («Первый канал», эфир 17 марта 2012 года), «Откровения затворника» (2014), «Рыцарь печального образа» (2018).