Николай Николаевич Дроздов родился 20 июня 1937 года в Москве.
Отец — Николай Сергеевич Дроздов (1902—1963), профессор кафедры органической химии 2-го Московского медицинского института. Двоюродный прапрадед по линии отца — митрополит Филарет (Дроздов), причисленный "Русской православной церковью" к лику святых в 1994 году.
Мать — Надежда Павловна Дрейлинг (1906—1993), врач-терапевт 5-й городской больницы Москвы. Прапрадед по матери — тайный советник Иван Романович фон Дрейлинг (1793—1876), происходивший из старинного тирольского, а затем — российского дворянского рода; был гвардейским кирасирским офицером и в 19 лет участвовал в Бородинском сражении, где исполнял обязанности ординарца фельдмаршала М. И. Кутузова; затем с боями дошёл до Парижа; вёл подробный дневник боевых действий, хранящийся в рукописном виде в Историческом музее и опубликованный в книге «1812 год. Воспоминания воинов русской армии».
Во время учёбы в школе Николай работал табунщиком конного завода в Рыбновском районе Рязанской области. После школы поступил на биологический факультет МГУ. После ухода со второго курса биофака МГУ работал на швейной фабрике, сначала учеником, потом дошёл до мастера 7-го разряда по пошиву мужской верхней одежды.
В 1952—1955 годах активно участвовал в работе биологического кружка ВООП под руководством П. П. Смолина. Вместе с Борисом Виленкиным, Петром Второвым, Юрием Пузаченко, Ольгой Шохиной, Михаилом Черняховским, Леонидом Лисовенко и Романом Злотиным стали яркими представителями второго поколения ВООПовцев.
В 1956—1957 годах учился на Естественном факультете Московского городского педагогического института им. В. П. Потёмкина. После второго курса перешёл на географический факультет МГУ.
В 1963 году окончил кафедру биогеографии географического факультета МГУ, до 1966 года обучался там в аспирантуре.