Родился в Баку. Отец, Николай Николаевич Тер-Григорян — преподаватель музыки, пианист. Мать, чью фамилию взял Анатолий, — Аревик Никитична Эйрамджан — внучка известного армянского писателя Газароса Агаяна. Двоюродный брат композитора и музыкально-общественного деятеля Эдуарда Хагогортяна. Племянник художника-живописца Мартироса Сарьяна.
Учился в музыкальной школе по классу скрипки. С детства писал короткие юмористические рассказы.
В 1961 году окончил Азербайджанский институт нефти и химии.
Работал в «Литературной газете» автором отдела сатиры и юмора «Клуб 12 стульев», за что был дважды удостоен премии «Золотой телёнок» в 1972—1973 годах.
В 1972 году окончил сценарное отделение Высших курсов сценаристов и режиссёров (мастерская Иосифа Ольшанского). С тех пор писал сценарии. Получил известность как автор совместных с Геральдом Бежановым работ, в частности, комедии «Самая обаятельная и привлекательная» (1985), ставшей лидером советского проката: в год выхода её посмотрели 44,9 млн зрителей. Тем не менее, как позже вспоминал Эйрамджан, много сценариев «было загублено, просто изуродовано», что повлияло на его решение уйти в режиссуру.
С 1989 года снимал картины по своим сценариям. Его дебютная комедия «За прекрасных дам!» считается пионером т.н. кооперативного кино в СССР. По словам Эйрамджана, все его фильмы были поставлены без государственной поддержки на деньги спонсоров и инвесторов, а «если у меня в титрах фигурирует Госкино, то только потому, что они мне разрешали по государственной цене приобрести импортную плёнку».
С 1992 года — художественный руководитель киностудии «Новый Одеон», на которой снял 22 художественных фильма по собственным сценариям. Член Союза кинематографистов России.
В 1997 году фильм «Импотент» был удостоен премии «Золотая Деметра» на Ялтинском международном кинофестивале, президентами которого были Эмиль Лотяну и Владимир Мотыль.
По собственному признанию, бюджет его картин составлял 70—100 тысяч долларов, а на съёмки обычно уходило от 8 до 12 дней: так, «За прекрасных дам!» (1989) и «Бабник» (1990) он поставил за 10 дней, а «Стрелу любви» (2002) — всего за пять.
Долгое время жил в Москве, а на зиму уезжал в Майями, где успевал снять две картины «за сезон», но после изменений в американском иммиграционном законодательстве в 2002 году получил грин-карту и переехал в США. Около 15 сценариев к фильмам, либретто мюзикла «Его величество случай» (по биографии О. Генри) и театральная пьеса «Во всём виноват Лёша», написанные в последние годы жизни, остались неосуществлёнными.
Жена — Оксана Шагдар (по образованию программист), ассистент кинорежиссера, фотограф, гример, актриса, последняя киноработа — оператор в клипе к песне «Очарована, околдована» для певца Михаила Звездинского.
Скончался 23 сентября 2014 года от остановки сердца в Майами (США). Похоронен в Майами в Southern Memorial Park.
