Родился в Баку (Азербайджан). Отец, Николай Николаевич Тер-Григорян — преподаватель музыки, пианист. Мать, чью фамилию взял Анатолий, — Аревик Никитична Эйрамджан — внучка известного армянского писателя Газароса Агаяна.
Двоюродный брат композитора и музыкально-общественного деятеля Эдуарда Арамовича Хагогортяна. Племянник художника-живописца Мартироса Сарьяна.
Учился в музыкальной школе по классу скрипки. С детства писал короткие юмористические рассказы.
В 1961 году окончил Азербайджанский институт нефти и химии.
В 1972—1973 годах был дважды удостоен премии «Золотой телёнок» «Литературной газеты» («Клуба 12 стульев»).
В 1972 году окончил сценарное отделение Высших курсов сценаристов и режиссёров (мастерская И. Ольшанского). С тех пор писал сценарии, а с 1989 года — снимал по своим сценариям фильмы.
С 1992 года — художественный руководитель киностудии «Новый Одеон», на которой снял 22 художественных фильма по собственным сценариям.
В 1997 году фильм «Импотент» был удостоен премии «Золотая Деметра» на Ялтинском международном кинофестивале, президентами которого были Эмиль Лотяну и Владимир Мотыль.
По сценариям Анатолия Эйрамджана было создано 35 художественных фильмов. Около 15 сценариев к фильмам, либретто мюзикла «Его величество случай» (по биографии великого О. Генри) и театральная пьеса «Во всём виноват Лёша», написанные в последние годы жизни Эйрамджаном, остались неосуществленными.
Член Союза кинематографистов России.
Жена — Оксана Шагдар (по образованию программист), ассистент кинорежиссера, фотограф, гример, актриса, последняя киноработа — оператор в клипе к песне «Очарована, околдована» для певца Михаила Звездинского.
Скончался 23 сентября 2014 года в Майами (США) от остановки сердца. Похоронен в Майами в Southern Memorial Park.
