Драйвер родился в Сан-Диего, Калифорния, в семье Нэнси Райт (Нидхэм), помощника юриста, и Джо Дугласа Драйвера. У него голландские, английские, немецкие, ирландские и шотландские корни. Его отчим, Родни Райт, является священником в баптистской церкви. Когда Драйверу было семь лет, он вместе со старшей сестрой и матерью переехал в родной город своей матери Мишавака, Индиана, где в 2001 году окончил среднюю школу. Драйвер получил баптистское воспитание и пел в церковном хоре.
Драйвер назвал себя в подростковом возрасте «отщепенцем». В интервью он рассказал, что забирался на радиовышки, поджигал предметы и вместе с друзьями основал бойцовский клуб, вдохновившись фильмом «Бойцовский клуб» 1999 года. После окончания школы он работал продавцом, продавая пылесосы Kirby, а также телемаркетологом в компании по гидроизоляции подвалов. Он подал заявление в Джульярдскую школу драматического искусства, но не был принят.
После 9/11 Драйвер поступил в Корпус морской пехоты, где стал миномётчиком 1-го батальона 1-го полка 1-й дивизии. Он прослужил 2 года и 8 месяцев, когда был комиссован после тяжёлого перелома грудины, полученного на горном велосипеде, прямо перед отправкой подразделения в Ирак.
Обучался в Университете Индианаполиса, прежде чем поступить в Джульярдскую школу в 2005 году, в которой он обучался на отделении драмы (группа 38) и окончил со степенью бакалавра изящных искусств в 2009 году. В 2010 году он дебютировал на бродвейской сцене в постановке «Профессия миссис Уоррен», после чего начал свою карьеру на телевидении и в кино.
С тех пор он появился в кинофильмах «Дж. Эдгар», «Линкольн» и «Внутри Льюина Дэвиса», прежде чем получить главную роль в предстоящем фильме «Дальше живите сами», наравне с Конни Бриттон, Тиной Фей, Джейн Фондой и Джейсоном Бейтманом.
В сентябре 2014 года был удостоен главного актёрского приза Венецианского кинофестиваля — Кубка Вольпи — за работу в итальянской драме «Голодные сердца» (30-летний актёр победил своих основных соперников киноэкрана Аль Пачино, Уиллема Дефо и Майкла Китона).
В 2015 году получил широкую известность после выхода на экраны фильма Звёздные войны: Пробуждение силы. 22 января 2019 года был номинирован на «Оскар» в категории «Лучшая мужская роль второго плана» (фильм «Чёрный клановец»). Через год, 13 января 2020 года, вновь номинирован на «Оскар», но в категории «Лучшая мужская роль» (фильм «Брачная история»).
В мае 2022 года было объявлено об утверждении Драйвера на главную роль в фильме Фрэнсиса Форда Коппола «Мегалополис» вместо выбывшего из проекта Оскара Айзека.
