Родился 28 марта 1923 года в еврейской семье. Отец — участник Первой мировой войны, инженер-конструктор Московского электролампового завода Леонид Михайлович Анчаров (3 июля 1895 — 9 декабря 1968), уроженец Харькова, мать — преподаватель немецкого языка Евгения Исааковна (Исаевна) Анчарова (урождённая Цимберова, 31 декабря 1895 — 19 июня 1959), родом из Нежина. Дед, штабс-капитан Исаак Беньяминович Цимберов, был военным капельмейстером Царицынского военного округа, в 1905 году уехал с двумя сыновьями в Америку, где через год скончался, а его оставшаяся в России семья в 1906 году переехала в Харьков.
Посещал музыкальную школу и детскую изостудию при ВЦСПС. В 1940 году поступил в Архитектурный институт. В июле 1941 года ушёл из института и вместе с Юрием Ракино, соучеником по изостудии, подал заявление в райвоенкомат с просьбой зачислить добровольцем на фронт. По направлению райвоенкомата сдал экзамены и поступил в Военный институт иностранных языков Красной Армии, где изучал китайский язык. Окончил его в 1944 году.
В качестве военного переводчика с китайского языка в 1945 году был направлен на Дальневосточный фронт, проходил службу в Главном управлении контрразведки «Смерш», участвовал в боевых действиях Советской Армии в Маньчжурии. Принимал участие в захвате и аресте правительства Маньчжоу-Го во главе с императором Пу И, награждён орденом Красной Звезды за эту операцию. В декабре 1946 года откомандирован в Москву. Демобилизовавшись в 1947 году, жил на случайные заработки.
В 1948 году подал документы для поступления на живописное отделение ВГИКа. После знакомства с Т.И. Сельвинской, студенткой МГХИ, изменил планы: забрал документы из ВГИКа и 23 августа подал их в Московский государственный художественный институт имени Сурикова на факультет живописи, куда поступил по конкурсу. Окончил учёбу в 1954 году по специальности «Станковая живопись». Член ВКП(б) с 1950 года.
В 1955—1958 годах учился на курсах киносценаристов. В 1956—1959 годах работал референтом-сценаристом в сценарной мастерской при Сценарной студии Управления по производству фильмов Министерства культуры СССР.
В 1959—1961 годах снова жил на случайные заработки. С 1962 года писал сценарии (в том числе к первому советскому телесериалу «День за днём»). 27 декабря 1966 года стал членом Союза писателей СССР.
Михаил Анчаров скончался 11 июля 1990 года. Похоронен на Новом Донском кладбище в Москве (колумбарий № 17, секция № 10, 2-й ряд).
