Родители — офицер-подводник и балерина; преданные адвентисты седьмого дня.
Родился в закрытом городе Петропавловск-Камчатский-50. Для учёбы в начальной школе переехал в Зеленоград. После окончания начальной школы по инициативе родителей поступил в Московскую государственную академию хореографии (МГАХ) при Большом театре.
Два года учился в протестантской семинарии Церкви Адвентистов Седьмого дня в посёлке Заокский Тульской области, затем год в Школе-студии МХАТ.
В 2007 году внимание прессы привлекла съёмка Добрыгина для обложки гей-журнала «Квир» (№ 50/2007), которую спустя три года актёр объяснил желанием студента заработать в качестве модели, уточнив при этом, что сам остаётся натуралом. Эпатажная съёмка стала причиной расставания Добрыгина с актрисой Елизаветой Боярской.
В 2010 году окончил актёрский курс режиссёрского факультета РАТИ (ГИТИС) (мастерская Олега Кудряшова). Первую известность Добрыгину принёс новогодний блокбастер «Чёрная молния» (2009). В 2014 году окончил режиссёрский факультет РАТИ (ГИТИС) (мастерская Кудряшова).
После того, как выступление Григория на студенческом театральном фестивале «Твой шанс» увидела ассистент режиссёра Алексея Попогребского, Добрыгин в последний момент попал в съёмочную группу психологического триллера «Как я провёл этим летом» (2010). Картина осмысливает психологическую природу страха и внезапно возникающих преградных комплексов на фоне непростых, отягощённых длительным одиночеством и отсутствием близких, взаимоотношений двух мужчин, один из которых намного младше и подчинён другому, — в изолированной атмосфере отдалённой северной метеорологической станции. Основная часть съёмок с участием двух главных персонажей, которых исполняют Добрыгин и Сергей Пускепалис, проходила в приближённой к реальности обстановке на севере Чукотки. Как рассказывал режиссёр Попогребский, участвуя в съёмках, Добрыгин целиком сюжета не знал, ему не давали заранее читать сценарий, чтобы Григорию было проще вжиться в образ молодого «неопытного человека в неоднозначной ситуации». После этого фильма, который западная критика сравнила с произведениями Тарковского, актёр Добрыгин стал популярен.
Уже вскоре после картины упоминался в прессе как «самый знаменитый студент России». В 2010 году был принят в труппу театра «Современник».