Родился 13 января 1958 года в городе Баку (Азербайджанская ССР). По национальности — армянин.
Отец Сергея был директором конфетной фабрики, а затем — директором винного завода в Баку. Мать была бухгалтером, но по профессии почти не работала (домохозяйка).
В школьные годы участвовал в художественной самодеятельности. Поступил в институт архитектуры, но через полтора года забрал документы и решил поступать в местное театральное училище. После провала на экзамене по русскому языку устроился в Дом Офицеров, где помогал ставить декорации и отвечал за занавес. А также наблюдал за опытными артистами и набирался опыта. Через год отправился в Москву.
На вступительных экзаменах в ГИТИС на курс Олега Табакова читал отрывок из повести «Нос» Николая Гоголя. Актёр вспоминает:
«Только приехал из Баку и у меня был ярко выраженный акцент. Педагоги попадали с кресел. Умоляли Табакова меня не брать, а он поступил иначе».
В 1980 году окончил актёрский факультет ГИТИСа.
После окончания института работал в московском театре «Современник». С 1986 по 1991 год входил в труппу в Московском театре-студии под руководством Олега Табакова, где в 1991 году поставил спектакль «Ревизор», за что в этом же году был удостоен премии Союза театральных деятелей России за лучший спектакль года.
В 1991 году организовал частную кинокомпанию «Никита и Пётр».
С 1998 по 2001 год — главный режиссёр Московского драматического театра под руководством Армена Джигарханяна.
В кино дебютировал в 1980 году, снимаясь в эпизодических ролях. Первая главная роль — латиноамериканец Рауль Санчес в советской социально-сатирической драме «Выигрыш одинокого коммерсанта» (1984) чилийского кинорежиссёра Себастьяна Аларкона.
В 1989 году дебютировал в качестве режиссёра кино, сняв трагикомическую мелодраму «Крейзи». Тогда же поставил совместно с Олегом Табаковым спектакль «Крыша».
В 2019 году поставил новую версию спектакля «Ревизор» в Театре Олега Табакова.
После смерти Армена Джигарханяна в ноябре 2020 года, коллектив театра принял решение обратиться с просьбой к департаменту культуры Москвы о назначении Газарова художественным руководителем театра.
8 декабря 2020 года назначен художественным руководителем Московского драматического театра под руководством Армена Джигарханяна (ныне — театр «Прогресс Сцена Армена Джигарханяна»). С 13 октября 2021 года — художественный руководитель Московского академического театра сатиры. Решил совмещать обе должности.