Родился в 1890 году в Ахене в семье врача. В 1908 году начал изучать право в Оксфорде, позже перевелся в Лозанну. Во время учёбы в Лейпциге в 1909-1914 годах начал проявлять интерес к литературе и философии. В 1910 году появилась его первая книга стихов «Города, ночи и люди» («Städte, Nächte und Menschen»). В 1914 году появилась его пьеса «Сын» («Der Sohn»), признаваемая ныне первым опытом экспрессионистской драмы. Его воодушевление в связи с начавшейся Первой мировой войной вскоре, после поступления на добровольную службу, сменилось резким протестом против войны. Газенклевер симулировал психическое заболевание и в 1917 году был уволен со службы. В том же году за своё переложение «Антигоны» Софокла он был удостоен премии Генриха Клейста. В 1920-е годы издал ещё несколько пьес.
Позже, при нацистах, его творчество оказалось под запретом, книги были внесены в списки для сожжения. Будучи лишь на четверть евреем (по деду) Газенклевер был примером того, как нацисты связывали свой расизм с любым человеком, используя такую терминологию «культурный еврей» или «духовный еврей».
Газенклеверу пришлось эмигрировать в Ниццу. Там он женился. Во время Второй мировой войны был дважды интернирован французами как подданный враждебного государства. В ночь с 21 на 22 июня 1940 года, после падения Франции, покончил с собой в лагере для интернированных в Ле-Милль близ Экс-ан-Прованса, чтобы не попасть в руки нацистам.
С 1996 года в Ахене раз в два года вручается литературная премия его имени.