Александр Молочников родился 14 апреля 1992 года в г. Санкт-Петербурге. Отец из Петербурга, преподает в Аничковом лицее, мама — журналистка, пишет в основном для западных изданий, бывает в горячих точках, её корни уходят в Нижний Новгород. Бабушка по маминой линии была психологом, а дед работал на местном телевидении и делал передачи про строительство.
В 2008 году окончил Аничков лицей.
В 2012 году окончил РАТИ-ГИТИС (актёрско-режиссёрский курс Леонида Хейфеца).
С 2012 года — актёр МХТ имени А. П. Чехова. На сцене МХТ дебютировал в роли Вронского в спектакле «Каренин».
Критики отметили успех актёра в главной роли в спектакле по пьесе У. Пленцдорфа «Новые страдания юного В.» (режиссёр Василий Бархатов).
В 22 года стал самым молодым режиссёром МХТ имени А. П. Чехова.
18 апреля 2015 года вместе с актрисой Александрой Урсуляк был ведущим XXI Церемонии вручения Российской Национальной театральной премии «Золотая Маска» на сцене Московского академического музыкального театра им. К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко.
