Гела Месхи родился 13 мая 1986 года в Москве. Отец — Рауль Севарович Месхи, имеет грузинские и испанские корни, инженер-проектировщик, в своё время перебрался в Москву из грузинского посёлка Сачхере (в ста километрах от Тбилиси). Мать — Марина Антоновна, русская, работала в ЖЭКе. Родители познакомились в Москве, сына при рождении планировали назвать Рокки Джуниор, но остановились на имени Гела. Фамилия Месхи — грузинская. Но Гела Месхи считает себя русским.
В школьные годы увлекался спортом — футболом, настольным теннисом, греко-римской борьбой. Участвовал в художественной самодеятельности.
Однажды учительница по литературе организовала в школе конкурс чтецов, и Месхи занял в нём первое место. Учительница отвела его в Московский молодёжный театр-студию Вячеслава Спесивцева «На Красной Пресне». Там Месхи задумался о поступлении в театральный институт.
После окончания средней школы в 2003 году Месхи поступил в ГИТИС на курс Владимира Алексеевича Андреева. Проучившись год, понял, что его очень расхолаживает отсутствие строгости у мастера, поэтому забрал документы и снова отправился поступать. В 2004 году был принят во ВГИК, в мастерскую Владимира Александровича Грамматикова, от которого он тоже ждал жёсткости, но этого также не случилось. Тогда он снова забрал документы. В 2005 году Месхи поступил, а в 2009 году окончил актёрский факультет Школы-студии (института) имени Вл. И. Немировича-Данченко при МХТ имени Чехова (руководитель курса — Константин Аркадьевич Райкин). Во время учёбы участвовал во многих постановках учебного театра, был занят в спектаклях «Валенсианские безумцы», «Молчание — золото», «Похищение Собинянинова», «Гамлет».
В 2009-2011 годах работал в труппе Московского драматического театра имени К. С. Станиславского под руководством Александра Владимировича Галибина, в котором был задействован в спектаклях «Троянской войны не будет», «7 дней до потопа» и «Ромео и Джульетта».
В 2009 году начал сниматься в заглавной роли в художественном фильме Юрия Кары «Гамлет. XXI век». За исполнение этой роли по итогам 8-го фестиваля кино и театра «Амурская осень» в Благовещенске Месхи получил приз за «Лучшую мужскую роль в кино».
В 2010 году в российский прокат вышли фильмы с участием Месхи: кинолента Мгера Мкртчяна «Взрослая дочь, или Тест на…» и фильм-спектакль «Комедианты», снятый Александром Галибиным и Игорем Волосецким.
Популярность актёру принёс телесериал режиссёра Рамиля Сабитова «Физика или химия», повествующий о буднях современной школы, премьера которого состоялась в августе 2011 года. Месхи исполнил в нём роль Алекса Вайнштейна, старшеклассника, испытывающего симпатию к учительнице Ирине Некрасовой.
В 2013 году сыграл главную роль в многосерийном телевизионном фильме «Сын отца народов», посвящённом судьбе Василия Сталина. О своём участии в фильме актёр сказал:
За время съёмок от эмоциональных потрясений, которые я переживал вместе с моим героем, я поправился на десять килограммов. Кроме того, за время съёмок режиссёр не раз ставил передо мной, казалось бы, невыполнимые задачи. Я впервые сел за руль автомобиля. А у меня тогда даже прав не было. Но благодаря консультанту по вождению я справился с задачей.
В 2013—2014 годах вместе с актрисой Екатериной Климовой снимался во Львове в приключенческом шпионском телесериале Сергея Гинзбурга «Волчье солнце».
