Родился в семье пианиста, дирижера и композитора Джойс Элдридж и конгрессмена Огайо Кларенса Брауна-младшего 5 января 1959 года в городе Эрбана, штат Огайо, США. Его отец ко всему прочему возглавлял семейное дело — газету, основанную дедом Кларенсом Брауном-старшим, «Brown Publishing Company». Клэнси Браун окончил «St. Albans School» в Вашингтоне, затем получил стипендию в «Северо-Западном университете» и вошёл в Братство Сигма Чи. Его вдохновили труды Шекспира, с которыми его познакомил сосед по комнате, именно это сподвигло его стать актером. Благодаря его комплекции и низкому голосу, Брауна часто приглашают играть роли отрицательных героев, но в жизни его друзья и коллеги описывают его как приятного, спокойного человека.
Дебютной для Клэнси Брауна стала роль в криминальной драме режиссёра Рика Розенталя «Плохие парни» с Шоном Пенном. В 1985 году Браун сыграл в вольной экранизации романа Мэри Шелли «Франкенштейн, или Современный Прометей», получившей название «Невеста».
В ноябре 1997 года можно было увидеть Брауна в двух картиных, ставших знаменитыми: «Звездный десант» Пола Верховена и «Флаббер», в котором главную роль исполнил Робин Уильямс. В 1998 году Браун снялся в телефильме канала CBS «Покровительница лгунов» («The Patron Saint Of Liars»).
Браун играл в приключенческой комедии «Приключения Бакару Банзая: Через восьмое измерение» и драме «Побег из Шоушенка». В фэнтези-боевике «Горец», послужившим началом для популярного сериала, актер исполнил роль злодея Кургана, а в сиквеле фильма ужасов по роману Стивена Кинга «Кладбище домашних животных 2» — роль Гуса Гильберта. В сериале «Земля-2» канала NBC Браун сыграл Джона Дангайзера.
Клэнси Браун снимался в триллерах («Голубая сталь», «После полуночи» и др.), биографических драмах («Проект Ларами», «Ураган», «Сильнее»), в семейных фильмах («Радиант-Сити»), боевиках («Огонь на поражение»), и много раз участвовал в создании анимационных фильмов («Смертельная битва», «Тимон и Пумба», «Геркулес», «Лига справедливости», «Супермен», «Губка Боб Квадратные Штаны» и др.).
Индустрия видеоигр также обратила внимание на вокальные способности Брауна, благодаря чему голос актера можно услышать в таких играх, как Crash Bandicoot: The Wrath of Cortex (2001), Lands of Lore III (1999), Star Wars: Bounty Hunter (2002) и Crash Nitro Kart (2003).
В 2016 году вышли фильмы «Да здравствует Цезарь!» и «Варкрафт». В 2017 году Браун озвучил Суртура в супергеройском фильме «Тор: Рагнарёк», а также исполнил роль Большого Джефа в драме «Сильнее» c Джейком Джилленхолом.
В 2019 году Браун снялся в сериале «Мандалорец» в роли Бёрга. В триллере «Девушка, подающая надежды» сыграл Стэнли Томаса.
