Скарлетт Ингрид Йоханссон родилась в Нью-Йорке. Её отец — Карстен Олаф Йоханссон (род. 1943), архитектор, выходец из Дании, сын датского писателя, сценариста и режиссёра Айнера Йоханссона (1922—2001). Мать Скарлетт, Мелани Слоун (род. 1951), происходит из еврейской семьи с корнями из Польши, Белоруссии и России; дед актрисы сменил семейную фамилию Шламберг на Слоун. У Скарлетт есть старший брат Эдриан (род. 1976), старшая сестра, актриса Ванесса (род. 1980), брат-близнец Хантер (род. 1984), а также старший единокровный брат Кристиан от предыдущего брака отца. Йоханссон имеет американское и датское гражданства. В 2017 году в телепередаче «Поиски корней» она раскрыла, что семья её прадеда по материнской линии погибла во время Холокоста в Варшавском гетто.
Йоханссон посещала начальную школу № 41 в районе Гринвич-Виллидж, Нью-Йорк. Развод родителей сильно повлиял на тринадцатилетнюю Скарлетт. Была особенно близка со своей бабушкой по материнской линии — Дороти Слоун, бухгалтером и учительницей; они часто проводили вместе время, и Йоханссон считала Дороти своей лучшей подругой. С раннего возраста в центре внимания у неё был интерес к карьере, Йоханссон часто пела и танцевала для своей семьи. Особенно она любила мюзикл и жесты для джаза. Она брала уроки чечётки и заявила, что её родители поддерживали выбор карьеры. Описала своё детство как очень обычное.
В детстве Йоханссон занималась актёрским искусством, глядя в зеркало, пока не заставила себя плакать, желая стать как Джуди Гарленд в фильме «Встретимся в Сент-Луисе». В семилетнем возрасте она была расстроена, когда агент по поиску талантов подписал контракт одного из её братьев вместо неё, но позже она всё равно решила стать актрисой. Она поступила в институт театра и кино Ли Страсберга и начала прослушиваться для рекламных роликов, но вскоре интерес потеряла. Она переключила своё внимание на кинематограф и театральное искусство, впервые появившись на сцене в внебродвейской постановке под названием «Софистика» с Итаном Хоуком, в которой у неё было две реплики.