Родился в семье ленинградских историков — Ханана Марковича Астрахана и Сусанны Марковны Маневич, выходцев из Белоруссии. Он был младшим, пятым ребёнком в семье. В школе увлекался чтением, математикой и спортом. По окончании восьмого класса поступил в физико-математическую школу № 30 на Васильевском острове и одновременно продолжил заниматься классической борьбой. По окончании школы был принят в Ленинградский электротехнический институт имени Ульянова (Ленина). В течение нескольких лет Дмитрий сменил несколько институтов, пока не был принят в Ленинградский государственный институт театра, музыки и кинематографии, в класс А. А. Музиля (окончил в 1982 году). В качестве дипломной работы должен был поставить спектакль в Пушкинском театре, однако, по утверждению самого Астрахана, после того, как худрук театра узнал, что Астрахан — еврей, спектакль поставить не дали.
C 1981 по 1987 год — режиссёр Свердловского театра юного зрителя. Затем отслужил в Вооружённых силах СССР (морская авиация). Ставил спектакли в разных театрах России и за рубежом, стажировался у Г. А. Товстоногова в Ленинграде.
С 1991 по 1995 годы руководил петербургским Театром комедии имени Н. П. Акимова.
С 1993 по 1996 годы руководил актёрской мастерской Санкт-Петербургской государственной академии театрального искусства. Среди его учеников — Анна Банщикова, Алексей Шевченков, Денис Кириллов, Геннадий Свирь, Марк Горонок, Иван Паршин, Андрей Федорцов и др.
Активно работает в театре и кино. Специализируется на психологических драмах. Преподаёт в Высшей школе телевидения «Останкино» и в киношколе TheOneFilm.
Стал востребованным актёром после роли администратора Леонида Фридмана в фильме «Высоцкий. Спасибо, что живой».
30.06.2022 года назначен художественным руководителем Московского театра «Школа современной пьесы» вместоИосифа Райхельгауза.
В 2022 году набрал режиссёрскую мастерскую во ВГИКе.