Роман Качанов родился 25 февраля 1921 года в Смоленске. Мать — Хая Яковлевна Качанова, отец — Абель Менделевич Качанов, сапожник.
Мать Романа умерла в 1932 году, когда ему было 11 лет.
Весной 1939 года Роман Качанов был призван на срочную службу в ряды Красной Армии. Он попал в Краснодарское летное училище. Он летал на истребителях — стрелком-радистом (вторым пилотом). В 1940 году учебный самолёт, на котором летал Качанов, потерпел аварию. Первый пилот погиб, а Качанов оказался в госпитале с тяжёлым ранением. Командование вызвало попрощаться с Качановым отца — Абеля Менделевича — и единственную сестру (старшую) — Марию. Больше они не встречались. Отец и сестра погибли в Смоленске во время немецкой оккупации.
Весной 1941 года Качанов поступил в Московский институт инженеров транспорта (МИИТ).
В начале Великой Отечественной войны снова был призван в армию, в парашютно-десантную часть, расквартированную в посёлке Чкаловский под Москвой. Так как он не любил рассказывать о войне, трудно точно сказать, где он конкретно служил.
В период с 1941 по 1945 год был инструктором парашютно-десантной службы в составе роты парашютно-десантной службы Отдельной мотострелковой бригады особого назначения. Принимал участие в специальных операциях в тылу врага. В 1945 году войну окончил сержантом.
Первый в своей жизни мультипликационный фильм увидел во время войны. Качанов так описывает свою первую встречу с мультипликацией: «Это было в годы войны. Нам показали американский фильм, в котором рассказывалось о преимуществах автопилота перед ручным управлением. В фильм была вкраплена мультипликация. В голове сидящего за штурвалом лётчика вдруг возникает дымящаяся на сковородке яичница. Самолёт начинает вилять, но вот яичница пропадает, и самолёт снова летит ровно. Затем в воображении пилота возникает образ переодевающейся девушки. Самолёт начинает петлять всё сильнее и сильнее и врезается в гору. Эта наивная мультипликация повергла меня в изумление. Я подумал, как замечательно было бы, если бы я смог оживить собственные рисунки и шаржи…»
Причём эта история имела продолжение:
Прошло много лет со дня моего прихода на студию, и к нам приехали два ведущих мультипликатора студии Диснея — Олли Джонсон и Френк Томас. Сорок с лишним лет они работали на студии. Эти художники — авторы лучших эпизодов в самых известных фильмах Диснея. Я рассказал про первую увиденную мною мультипликацию и пересказал историю с пилотом. „Этот сюжет сделал я!“ — воскликнул вдруг Джонсон.
Ещё до демобилизации в 1946 году решил работать в мультипликации. Перевёлся на службу на киностудию Министерства обороны в Болшево.
