Фрэнсис Форд Коппола родился 7 апреля 1939 года в Детройте, штат Мичиган. Отец Кармайн Коппола (1910—1991), флейтист из Детройтского симфонического оркестра, мать — Италия (урожденная Пеннино; 1912—2004). Коппола был вторым из трёх детей: его старший брат — Август Коппола (отец Николаса Кейджа), младшая сестра — актриса Талия Шайр. Родился в семье иммигрантов итальянского происхождения, его дедушка приехал в Соединенные Штаты из Бернальды, Базиликата. Его дед по материнской линии, популярный итальянский композитор Франческо Пеннино, эмигрировал из Неаполя. Коппола получил своё второе имя в честь Генри Форда, не только потому, что он родился в Больнице Генри Форда, но и из-за ассоциации его музыканта-отца с производителем автомобиля. Дело в том, что на момент рождения Фрэнсиса, его отец был флейтистом, а также аранжировщиком и помощником режиссёра оркестра, который выступал под эгидой Ford Motor Company. Через два года после рождения Копполы, его отец был назначен главным флейтистом Симфонического оркестра NBC, и семья переехала в Нью-Йорк, поселившись в Вудсайте (Куинс), где Коппола провёл оставшуюся часть своего детства.
Будучи мальчиком, Фрэнсис заболел полиомиелитом и был прикован к постели в течение большего периода своего детства, что позволило ему развивать воображение во время просмотров постановок домашнего кукольного театра. Чтение пьесы Трамвай «Желание» в пятнадцатилетнем возрасте сыграло важную роль в развитии его интереса к театру. Увлекался созданием фильмов, смонтированных с домашних съёмок на 8-мм плёнку. В детстве Коппола был посредственным учеником, но он так интересовался технологией и инженерным делом, что друзья прозвали его «Наука» (Science). Занимался музыкой, играл на тубе и выиграл музыкальную стипендию Нью-Йоркской военной академии. В целом Коппола поменял 23 школы, прежде чем он, в конечном итоге, окончил среднюю школу Great Neck North. В 1955 году поступил в колледж Хофстра, изучал театральное искусство. Там он получил стипендию по драматургии. Это способствовало его интересу изучения режиссуры театра, несмотря на неодобрение своего отца, который хотел чтобы Фрэнсис изучал инженерное дело. Коппола был глубоко поражён, увидев фильм Сергея Эйзенштейна «Октябрь: Десять дней, которые потрясли мир», особенно его потрясло качество монтажа фильма. Именно в это время Коппола решил, что он будет заниматься кинематографом, а не театром. Коппола говорит, что он был под сильным влиянием своего брата Августа и собирался стать писателем, он будет учиться в альма-матер своего брата: в колледже Хофстра и в Киношколе Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе.
