Родился 25 апреля 1940 года в Москве.
Выступал в школьной самодеятельности вместе с Андреем Смирновым, который в дальнейшем стал известным кинорежиссёром.
Окончил Высшее театральное училище им. М. С. Щепкина в 1963 году. Однокурсниками по училищу были Виктор Павлов, Виталий Соломин, Олег Даль. До 1968 года — актёр Академического Малого театра. Но в период, когда актёр готовил большую роль (Хлестаков в «Ревизоре»), случайно брошенные слова стали причиной разразившегося скандала и ему срочно пришлось покинуть Малый театр. Впоследствии стал актёром киностудии им. М. Горького.
Первая роль — в фильме Ивана Пырьева «Наш общий друг» (1961). Ярким началом кинокарьеры следует считать комедийный фильм «Начальник Чукотки», где Кононов сыграл Алексея Бычкова. В том же году Михаил Иванович сыграл Фому в историко-философском фильме Андрея Тарковского «Андрей Рублёв».
Наибольшую популярность актёр получил, сыграв молодого учителя Нестора Петровича Северова в четырёхсерийном телефильме Алексея Коренева «Большая перемена», хотя первоначально отказывался от этой роли, так как ему не нравился сценарий.
Последняя роль — в телесериале «В круге первом» (2006). В целом актёр сыграл более чем в 60 фильмах. Наиболее известные роли — младший лейтенант Малешкин («На войне как на войне»), Алёша Семёнов («В огне брода нет»), Павлик («Начало»), Митька Ярмолюк («Здравствуй и прощай»), Яшка (фильм-сказка «Финист — Ясный сокол»), Консель, слуга профессора Аронакса («Капитан Немо»), беглый революционер-боевик Родион Климентов («Сибириада»), Аким («Таёжная повесть»), Василий («Василий и Василиса»), космический пират Крыс («Гостья из будущего»). Актёру было свойственно сочетание мягких комических красок с драматической глубиной. Сам Кононов считал себя трагикомическим актёром.
С начала 1990-х актёр мало появлялся на экране. От предложений чаще отказывался, с новым поколением актёров принципиально не дружил и негативно отзывался о состоянии современного российского кинематографа. В конце 1990-х Кононову пришлось продать московскую квартиру и начать многолетнее строительство дома в Истринском районе, в деревне Бутырки.
В последние годы жизни Кононов редко появлялся на людях и жил в Бутырках, снимался мало. Проведя в деревне десять лет, купил небольшую квартиру на московской окраине. В 2000-е годы написал книгу мемуаров, но ни одно издательство не приняло её к публикации. К этому времени актёр перенёс инфаркт, тромбофлебит и был инвалидом II группы. За две недели до смерти Кононов с пневмонией лёг в одну из московских больниц. Однако в больнице его состояние лишь ухудшалось: у него не было денег, чтобы приобрести необходимые медикаменты. На фоне пневмонии у Кононова развились сердечная недостаточность и тромбоэмболия. Вечером 15 июля 2007 года его перевели в отделение кардиореанимации, но спасти жизнь артиста не удалось: утром 16 июля 2007 года он скончался от тромбоэмболии на 68-м году жизни.
Тело актёра, согласно его завещанию, было кремировано, а урна с прахом захоронена в Москве, в колумбарии (саркофаг) у 1 уч. Ваганьковского кладбища.
