Родился в еврейской семье. Отец — Константин Самуилович Котт (1937—2001), мать — Белла Шепшелевна Рахлина (1937—1987). После окончания Школы эстетического воспитания при Театре на Красной Пресне в 1990 году работал фотографом. Участвовал в нескольких выставках фотографии в «Галерее на Пироговке», музее ГИТИСа, Академии Культуры.
В 1994 году поступил во ВГИК, в мастерскую режиссуры игрового фильма Владимира Хотиненко. А осенью 1997 года успешно прошёл мастер-класс Анджея Вайды в Кракове.
В 1997 году по заказу французского телевидения (канал «ARTE») снял однокадровый фильм «Путешествие», короткометражный фильм «Верёвка» (1998).
С фильмом «Фотограф» участвовал более чем в тридцати международных кинофестивалях.
В 2000 году окончил ВГИК.
Следующей работой после «Фотографа» стала ещё одна короткометражная лента — «Пугало» (2000), снятая при участии Кинокомпании СТВ.
Окончив ВГИК, снял полнометражный дебютный фильм «Ехали два шофёра» (2001). На фестивале «Киношок» в Анапе (Краснодарский край) лента была удостоена приза «За лучшую режиссуру». Фильм вышел в прокат в январе 2002 года.
Следующей крупной работой режиссёра стал многосерийный телефильм 2004 года по роману Валентина Пикуля «Конвой PQ-17».
В 2006 году он снял экранизацию романа Лермонтова «Герой нашего времени».
В 2010 году Котт снял фильмы «Брестская крепость» и «Подсадной».
Очередным проектом Александра Котта, который демонстрировался по одному из центральных каналов Российского телевидения, стал восьмисерийный фильм «Охотники за бриллиантами».
В ноябре 2012 года вышел 16-серийный сериал «Обратная сторона Луны», являющийся адаптацией сериала компании BBC «Жизнь на Марсе».
В 2014 году фильм Александра Котта «Испытание» получил главный приз фестиваля «Кинотавр».
В 2015 году стал членом Жюри 1-го Московского Еврейского Кинофестиваля.
