Родился в семье Константина Самуиловича Котта (1937—2001) и Беллы Шепшелевны Рахлиной (1937—1987). После окончания Школы эстетического воспитания при Театре на Красной Пресне в 1990 году работал фотографом. Участвовал в нескольких выставках фотографии в «Галерее на Пироговке», музее ГИТИСа, Академии Культуры.
В 1994 году поступил во ВГИК, в мастерскую режиссуры игрового фильма Владимира Хотиненко. А осенью 1997 года успешно прошёл мастер-класс Анджея Вайды в Кракове.
В 1997 году по заказу французского телевидения (канал «ARTE») снял однокадровый фильм «Путешествие», короткометражный фильм «Верёвка» (1998).
С фильмом «Фотограф» участвовал более чем в 30-ти международных кинофестивалях.
В 2000 году окончил ВГИК. Следующей работой стала ещё одна короткометражная лента «Пугало» (2000), снятая при участии Кинокомпании СТВ.
Окончив ВГИК, снял полнометражный дебютный фильм «Ехали два шофёра» (2001). На фестивале «Киношок» в Анапе (Краснодарский край) лента была удостоена приза «За лучшую режиссуру». Фильм вышел в прокат в январе 2002 года.
Следующей крупной работой режиссёра стал многосерийный телефильм 2004 года по роману Валентина Пикуля «Конвой PQ-17».
В 2006 году он снял экранизацию романа Лермонтова «Герой нашего времени».
В 2010 году Котт снял фильмы «Брестская крепость» и «Подсадной». «Брестскую крепость» и критики, и зрители назвали лучшим фильмом о войне за последние 25 лет.
Следующим проектом Александра Котта, который демонстрировался по одному из центральных каналов Российского телевидения, стал восьмисерийный фильм «Охотники за бриллиантами».
В ноябре 2012 года вышел 16-серийный сериал «Обратная сторона Луны», являющийся адаптацией сериала компании BBC «Жизнь на Марсе».
В 2014 году фильм Александра Котта «Испытание» получил главный приз фестиваля «Кинотавр».
В 2015 году стал членом Жюри 1-го Московского Еврейского Кинофестиваля.
