Леонид Кулагин родился 7 июня 1940 года в городе Киренске Иркутской области, в семье простых рабочих. После смерти матери в 1947 году на операционном столе из-за глупой врачебной ошибки воспитывался отцом, а позже — и мачехой (тётей Нюсей). В среднюю школу пошёл в родном городе отца — Горьком, там же её и окончил.
С шестилетнего возраста практически жил в горьковском драматическом театре, где его отец работал радиомехаником. В школьные годы принимал участие в художественной самодеятельности, посещал Дворец пионеров, а также увлекался пением.
В 1956 году поступил, а в 1960 году окончил театральную студию при Горьковском государственном театре драмы имени Максима Горького. Получив диплом актёра, остался служить в труппе театра. Играл также в театрах Читы, Ярославля, Липецка, Брянска.
В 1968—1995 годах служил в труппе Московского драматического театра имени Н. В. Гоголя.
С 1997 по 2004 годы — главный режиссёр Брянского областного театра юного зрителя. За это время поставил семнадцать спектаклей, многие из которых по сей день остаются в репертуаре этого театра.
Вернувшись в Москву в 2004 году, возглавил Продюсерский центр «Театральное товарищество», где участвовал во всех антрепризных постановках как режиссёр и актёр.
