Санджай Датт родился 29 июля 1959 года в семье актёров Наргис и Сунила Датта. У Санджая есть две младшие сестры: Датт, Прия и Намрата. Его мать умерла в 1981 году, незадолго до премьеры его дебютного фильма.
Во время натурных съёмок фильма «Отмщение» (1993) на Маврикии Санджая обвинили в незаконном хранении оружия (автомата АК-47 и пистолета), которое он приобрел у Абу Салема, террориста, считающегося одним из организаторов серии взрывов в Бомбее в 1993 году. Как только самолет со съёмочной группой сел в аэропорту Сахар, Санджая арестовала полиция. Актёр уверял, что оружие было куплено им в целях защиты. Суд пересматривал дело несколько раз, что сначала позволило Санджаю вернуться на студию и продолжить работу в фильмах. Но в 2005 году суд всё-таки признал его виновным и приговорил к шести годам лишения свободы. В 2007 году, отбыв 18 месяцев тюремного заключения, он освободился под залог.
В марте 2013 года Верховный суд Индии пересмотрел приговор Санджаю Датту и сократил срок его наказания до пяти лет, но постановил, что в течение месяца актёр должен вернуться в тюрьму для отбывания оставшейся части срока (трёх с половиной лет). Новость о вероятном возвращении Санджая Датта в тюрьму вызвала в обществе движение как за его помилование, так и против этого.
