Дмитрий Месхиев родился 31 октября 1963 года в Ленинграде в семье кинематографистов. Родители работали на киностудии «Ленфильм». Отец — известный кинооператор Дмитрий Месхиев-старший, снимавший фильмы Авербаха, Мотыля, Шпаликова и других режиссёров, мать — режиссёр Наталья Трощенко, создатель фильмов «О тех, кого помню и люблю», «Кадкина всякий знает», «Долгая дорога к себе», «Сошедшие с небес» и других.
В 1981 году в возрасте 17 лет пришел на киностудию «Ленфильм» и включился в кинопроцесс, работая механиком съемочной техники. Участвовал в создании фильмов «Голос», «Никколо Паганини», «Тайна синих гор», «Требуются мужчины». «После школы родители устроили меня на студию работать, я катал тележку с оператором. Мама хотела, чтобы я стал кинооператором, папа тоже, наверное… А когда я поработал, понял, что хочу быть режиссёром», — вспоминал Месхиев в интервью.
В 1983 году поступил на режиссёрский факультет ВГИКа, в 1988 году окончил институт (мастерская режиссёра Марлена Мартыновича Хуциева).