Саша Барон Коэн родился в лондонском районе Хаммерсмит в еврейской семье. Он младший из трёх братьев. Отец, Джеральд Барон Коэн, был владельцем магазина мужской одежды и уроженцем Лондона; мать, Даниэлла Наоми Барон Коэн (урождённая Вайзер), инструктор по лечебной физкультуре, родилась в Израиле. По отцовской линии семья была белорусского происхождения (прадед Саши, ювелир Хаим Барон, покинул территорию современной Белоруссии в 1880-х годах и уже в Кардиффе женился на иммигрировавшей из Царства Польского Амелии Коэн), также Хаим добавил к своей фамилии вторую, Коэн; предки матери жили в Германии. Дед артиста, Мойше (Моррис) Барон Коэн, поселился в Уайтчепеле, став первым поколением в семье, перешедшим с идиша на английский язык.
Саша начал играть на сцене ещё во время учёбы в колледже Христа (Кембриджский университет), где темой его исследований была роль и помощь американских евреев в поддержке борьбы афроамериканцев США за свои права.