Саффрон родилась в Лондоне, Англия, в семье политических активистов.
В 17 лет Саффрон начала работать моделью. Она представляла такие известные марки, как Chanel, Yves Saint Laurent и Vivienne Westwood. Её актёрская карьера началась с маленькой роли Хиппи в драме «Во имя отца». После она была приглашена в фильм «Круг друзей», где её коллегами стали Минни Драйвер и Крис O’Доннелл. Снялась в сериале «Агенты „Щ.И.Т.“» в роли агента Виктории Хэнд.
В 1999 году в интервью журналу Film Unlimited Саффрон призналась, что является бисексуалкой.
В 1990-х годах встречалась с актёром Аланом Каммингом и состояла в отношениях с режиссёром Майком Фиггисом на протяжении пяти лет до 2002 года. Также несколько лет встречалась с актрисой Фионой Шоу.
В августе 2013 года Саффрон вступила в брак с писательницей Элисон Бэйлиэн, с которой до этого встречалась 6 лет. В 2012 году Берроуз родила сына, а в 2017 году — дочь. В 2020 году пара рассталась.
