Родители Зинаида Одегова и Борис Пугачёв, оба — фронтовики, познакомились и поженились в 1946 году, в 1947 у них родился первенец Геннадий; ребёнок умер младенцем от дифтерии. 15 апреля 1949 года у них родилась дочь, которую назвали в честь актрисы МХАТа Аллы Тарасовой. 7 апреля 1950 года родился третий ребёнок — сын Евгений. Всё детство Аллы семья проживала в Москве на Крестьянской Заставе в двухэтажном доме в Зонточном переулке (не сохранился).
Начиная с лета 1952 года Аллу с братом отправляли на дачу в деревню Новоалександрово, расположенную на берегу Клязьминского водохранилища, вскоре туда же на грузовике доставляли трофейное пианино «Циммерман», и мать заставляла заниматься на нём не менее 3 часов в день.
В 1956 году, в возрасте 7 лет, родители отдали дочь в музыкальную школу № 31 при музыкальном училище имени М. М. Ипполитова-Иванова. Тогда же она пошла в первый класс средней школы № 496 в Лавровом переулке Таганского района Москвы. За своенравный характер и умение за себя постоять во дворе и школе ей дали прозвище «фельдфебель».
В 1964 году окончила музыкальную школу по классу фортепиано и 8 классов средней школы, затем поступила в музыкальное училище имени М. М. Ипполитова-Иванова (ныне Государственный музыкально-педагогический институт имени М. М. Ипполитова-Иванова), где училась на одном курсе с Михаилом Шуфутинским.