Александр Белинский родился в Ленинграде; учился сначала в 155 средней школе Смольнинского района (сейчас 155 гимназия Центрального района Санкт-Петербурга). Затем переехал в Москву, где окончил школу в 1944 году. Сам Белинский рассказывал: «В шесть лет я посмотрел в ТЮЗе (в том великом ТЮЗе на Моховой) „Зеленую птичку“ Гоцци, и никаких других мыслей, кроме театра, у меня уже не возникало. 1 сентября 1945 года я пришёл на режиссёрский факультет Зона. После гениального спектакля Рубена Симонова в Театре им. Вахтангова „Мадемуазель Нитуш“, который решил мою судьбу окончательно и бесповоротно, я понял, что надо работать именно в этом жанре».
В Москве он поступил в ГИТИС на факультет театроведения, в 1950 году — на режиссёрский факультет Ленинградского театрального института. На театральную практику на втором курсе определился в балетную труппу Кировского театра. Ещё будучи студентом, вместе с сокурсником Оскаром Ремезом сочинял и ставил цирковые номера: клоунские антре, тексты для ведущих.
В 1949 году Белинский начал работу в Театре миниатюр под руководством Аркадия Райкина как сорежиссёр спектакля «Любовь и коварство»; самостоятельно поставил в Театре миниатюр два спектакля — в 1956 и 1970 годах.
В 1950 году, по окончании вуза, организовал при Ленинградском Доме актёра Театр капустника; поставленные им в 50-60-х годах актёрские капустники пользовались большой популярностью в Ленинграде. Работал в Драматическом театре Северного флота в Мурманске. В 1953—1962 годах был режиссёром Ленинградского театра им. Ленинского комсомола.
В 1962—1985 годах — режиссёр-постановщик ленинградского телевидения (среди работ — телеспектакли «Девочки» по пьесе Веры Пановой о ленинградской блокаде, «Кюхля», «Мертвые души», «Записки сумасшедшего», «Понедельник начинается в субботу», «12 стульев» и другие).
С 1968 года — на студии «Лентелефильм», один из создателей этого творческого объединения.
С 1988 года — режиссёр Большого театра кукол. Сотрудничал с несколькими театрами Литвы.
С по 2002 годы Белинский возглавлял Санкт-Петербургский театр музыкальной комедии. Среди постановок — «Честь смолоду» по роману А. А. Первенцева; «Смейся, паяц!» А. Скорокопытова; «Раскрытое окно» по пьесе Э. В. Брагинского.
В 1997 году в Санкт-Петербурге были изданы его художественные произведения: «Красотки кабаре (полудетективная повесть)», «Осеннее танго (повесть)» и «„Шарик, здравствуй!“ (басня в прозе)».
Белинский был автором цикла телепрограмм на телеканале «Культура» о театре и театральных деятелях «Рассказы старого сплетника», составивших впоследствии книгу с тем же названием. Был также режиссёром ряда выпусков популярных телепередач «Голубой огонёк» и «Кабачок 13 стульев». Всего им поставлено около 200 спектаклей на телевидении, в театрах Москвы и Ленинграда-Петербурга, из них 112 телеспектаклей и телефильмов. Написал либретто к балетам «Накануне», «Три карты», «Барышня и хулиган».
Доцент Санкт-Петербургской государственной консерватории имени Н. А. Римского-Корсакова, А. Белинский за годы преподавания в институте театра, музыки и кинематографии им. Н. А. Черкасова выпустил таких учеников, как Е. Сафонова, Т. Кузнецова, К. Воробьев и другие.
Умер Александр Белинский 2 марта 2014 года на 86-м году жизни в Санкт-Петербурге. Похоронен в Санкт-Петербурге на Смоленском кладбище.
