Родился 30 октября 1941 года в Чистополе, в эвакуации. Отец — Василий Васильевич Суховерко, военный врач. Мать — Александра Яковлевна Терентьева. Родители хотели назвать сына в честь полоцкого князя Рогволода по аналогии с уже родившейся у них дочерью — Рогнедой, однако при оформлении свидетельства о рождении работница отдела ЗАГС допустила ошибку в имени. В результате мальчик получил имя Рогволд.
С 1947 года семья жила в Ленинграде. В 1965 году Суховерко окончил Школу-студию МХАТ (руководитель курса — Василий Петрович Марков), где обучался вместе с Владимиром Меньшовым и Андреем Мягковым. Во время учёбы был увлечён поэзией Серебряного века. После окончания вуза вошёл в труппу театра «Современник». С 1971 года актёр проживал в Алексеевском районе города Москвы.
Обладал от природы очень красивым, «королевским» голосом — басом-профундо. Работал на радио, на дубляже кинофильмов. Озвучил множество ролей в российских и зарубежных мультипликационных и художественных фильмах, а также персонажей компьютерных игр.
В 2008 году издательством «Зебра Е» выпущена в свет книга воспоминаний Р. В. Суховерко «Зигзаги» — о театре «Современник», работе на радио и концертной деятельности. Последние годы работал над составлением своей версии Антологии русской поэзии в 3-х томах.
Долгие годы тяжело болел. После перерыва вновь играл на сцене театра «Современник». Когда потерял голос, играл роли без слов. Последний спектакль сыграл 4 апреля 2015 года.
Скончался на 74-м году жизни 9 апреля 2015 года в Москве. Похоронен 11 апреля на Алексеевском кладбище.
