Родился 11 декабря 1950 года в Киеве в еврейской семье. Отец — работник цирка и сценарист М. С. Татарский. В 1974 году окончил Киевский институт театра и кино по специальности кинодраматург-киновед-редактор, а также специализированные трёхгодичные курсы художников-мультипликаторов Госкино УССР. Во время учёбы познакомился с Игорем Ковалёвым, на долгие годы ставшим ближайшим другом и соавтором Татарского.
Мультипликацией занимался с 1968 года на студии «Киевнаучфильм». Прошёл путь от заливщика до режиссёра. В 1980 году переезжает в Москву для работы кинорежиссёром в мультипликационной студии Т/О «Экран».
Александр Татарский и другие художники на некоторое время обосновались в церкви Трёх Святителей на Кулишках, где нужен был ремонт. Скоро церковь передали Московской Патриархии. Ставший настоятелем храма Владислав Свешников разрешил им остаться, пока они не найдут себе новое пристанище, за что художники помогали в восстановлении церкви.
Режиссёр мультфильма «Пластилиновая ворона» (1981), перевернувшего представление о мультипликации.
В 1988 году Александр Татарский, Игорь Ковалёв и Анатолий Прохоров основали Московскую студию «Пилот» (Школа новых экранных технологий), где Татарский взял на себя роль художественного руководителя. Студия «Пилот» стала первой независимой киностудией в Советском Союзе.
Вскоре часть персонала, включая Ковалёва, по приглашению студии Klasky Csupo переехала для работы в США. По словам Татарского, ему первому из советских мультипликаторов поступило предложение о переезде, но он отказался. Отъезд «пилотовцев» он называл настоящей катастрофой для отечественной индустрии.
