Родился в Москве в семье партийного работника. В 1938 году его отца репрессировали и отправили в Коми АССР в лагерь под Воркутой. Мать, как жену врага народа, с двумя сыновьями выслали в Алма-Ату, где Евгений Урбанский прожил до своего четырнадцатилетия. По окончании войны семья смогла переехать в Инту к переведённому в Интлаг отцу, где Евгений Урбанский окончил школу.
В 1952 году поступил на актёрский в Школу-студию МХАТ (курс В. О. Топоркова), по окончании в 1957 году был принят в труппу Московского драмтеатра имени К. С. Станиславского.
В кино дебютировал в главной роли в фильме Юлия Райзмана «Коммунист» (1957), принёсшей ему популярность. По опросу читателей журнала «Советский экран» в 1959 году фильм оказался в числе трёх лучших фильмов года. Люди узнавали его на улице, режиссёры предлагали роли в новых картинах. Роль лётчика Алексея Астахова в фильме «Чистое небо» (1960) стала одной из самых сложных в творческой биографии актёра. С показателем в 41,3 миллиона зрителей картина вошла в сотню лидеров среди отечественных лент за всю историю советского проката.
Член КПСС с 1962 года.