Родился 15 января 1923 года в Петрограде (ныне Санкт-Петербург) в семье Якова Ильича Весника и Евгении Эммануиловны Весник (урождённой Немечек). В одном из интервью Евгений Яковлевич признался: «Правильно ударение в моей фамилии делать на втором слоге — Весни́к! Отец у меня был белорусский еврей, а мать русифицированная чешка». Вскоре они переселились в Кривой Рог — Яков Весник был назначен директором Криворожского комбината.
После расстрела отца и ссылки матери в Казахстан в 1937 году Евгений был отправлен в специальный детский дом для детей «врагов народа». По дороге к месту сбежал; М. И. Калинин, бывший до революции начальником цеха на петербургском заводе, где работал слесарем Яков Весник, помог его сыну прописаться в квартире родителей. С пятнадцати с половиной лет он был подсобным рабочим в цехе, где проверяли целостность противогазов.
В 1942 году Евгений был призван в РККА, окончил артиллерийское училище в звании младшего лейтенанта. C июня 1944 года находился на фронте — был командиром огневого взвода 1-й гвардейской корпусной артиллерийской бригады и адъютантом командира 5-й гвардейской гаубичной артиллерийской Севастопольской краснознамённой бригады, гвардии лейтенант. Участник штурма Кёнигсберга. Был награждён боевыми орденами и медалями.
В 1948 году в Москве окончил Театральное училище имени М. С. Щепкина и был принят в труппу Московского драматического театра им. К. С. Станиславского (ныне Электротеатр Станиславский). В 1954 году перешёл в Московский театр Сатиры, где работал до 1963 года и стал первым в СССР исполнителем роли Остапа Бендера, которого сыграл в общей сложности более шестисот пятидесяти раз.
С 1963 года Весник был актёром Малого театра, который покинул в 1992-м. Одновременно в 1981—1990 годах выступал на сцене Московского драматического театра «Сфера».
Театральной Москве Евгений Весник был известен и как коллекционер походок людей; он вспоминал, что в процессе вживания в роль именно походка героя всегда помогала ему узнать «своего» героя, и нередко актёры обращались к Веснику с просьбой «продать походку» для той или иной роли. Так, он подарил Николаю Гриценко походку «иноходца» для роли Алексея Каренина в фильме А. Зархи «Анна Каренина» — при ходьбе левая рука движется вместе с левой ногой, а правая — вместе с правой.
Как в Театре сатиры, так и в Малом театре Евгений Весник занимался и режиссурой. В 1990 году на сцене Криворожского городского театра драмы и музыкальной комедии имени Т. Г. Шевченко поставил спектакль о судьбе своих родителей «Чистка» по пьесе В. Козака.
Дебют актёра в кинематографе состоялся в 1955 году, в фильме Сергея Юткевича «Отелло»; сыграл более 90 ролей, работал на дубляже, озвучивал мультфильмы. Много работал на радио и телевидении; с середины 1950-х годов выступал на эстраде.
Евгений Весник является автором 20 книг; написал ряд сценариев для радио и телевидения. Был членом Союза кинематографистов СССР, Союза театральных деятелей РФ, Союза писателей СССР.
В 2005 году актёр перенёс пневмонию, а 7 апреля 2009 года у него случился инсульт. 10 апреля скончался в больнице в Москве на 87-м году жизни. Прах актёра захоронен 14 апреля на Троекуровском кладбище (6 участок).
