Алексей Золотницкий родился и вырос в самом центре Москвы, рядом с Арбатом. Начал озвучивать фильмы ещё в 15 лет, работая рядом с отцом, который был одним из зачинателей дубляжа в СССР.
С 1959 года Алексей проходил обучение в студии при Театре имени Станиславского, где вместе с озвучиванием фильмов играл на сцене, а уже в 16 лет поступил в Высшее театральное училище имени М. С. Щепкина при Малом театре и на филологический факультет МГУ.
В 1967 году стал лауреатом конкурса молодых актёров-чтецов. Тогда же окончил училище имени Щепкина, но университетского диплома так и не получил, потому что после окончании учёбы в театральном вынужден был работать по специальности в течение целых 3 лет.
В разное время играл в Театре имени Маяковского, Театре имени Моссовета, Театре-студии киноактёра. Там же он играл в спектаклях «Горе от ума» (Александр Андреевич Чацкий), «Комедия ошибок» и «Заступница», с 1989 года — в труппе Театра Табакова.
За два десятка лет Алексей Золотницкий сыграл сотни ролей в классических и современных постановках, но не переставал заниматься дублированием фильмов. Его голосом говорили Роберт Редфорд, Роберт де Ниро, Ален Делон, Энтони Хопкинс и Роуэн Аткинсон, также переозвучивал многих советских актёров, в частности, Лембита Ульфсака. С 1994 года он был одним из ведущих голосов на фирме «СВ-Дубль», там вплоть до 2000-х годов им было озвучено и дублировано большое количество фильмов и драматических сериалов для каналов РТР и ТВ-6. Плодотворно работал с режиссёром дубляжа Аллой Гончаровой. По его собственному признанию, он озвучил около 10 тысяч главных ролей. Алексей Алексеевич всегда брезговал озвучиванием картин, провоцировавших к насилию и жестокости. Хотел организовать курс озвучивания во ВГИКе по причине отсутствия хороших педагогов.
Актёр неоднократно снимался в кино и телесериалах, а самый популярный его киногерой — дворецкий Роджерс в «Десяти негритятах». Как говорит сам Золотницкий, на некоторые предложенные ему роли «гэбэшников пенсионного или предпенсионного возраста или бандитов, причём злостных — маньяков, киллеров» ему приходилось просто соглашаться, но он не играл «столько, сколько хочет, и то, что бы ему бы хотелось», как, например, короля Лира, Ричарда III.
12 сентября 2010 года принял участие во встрече с американским актёром Уолтером Кёнигом, исполнителем роли Бестера в фантастическом сериале «Вавилон 5», высоко оценившим актёрскую игру Золотницкого. Также Алексей Золотницкий озвучил одного из ключевых персонажей сериала — посла Республики Центавр Лондо Моллари в исполнении Питера Юрасика.
На данный момент актёр проживает на улице Эйзенштейна в Ростокине, где в 1957 году его родителям дали двухкомнатную квартиру в доме киностудии Горького.
В 2011 году артист перенёс микроинсульт, но продолжал играть в театре. В ноябре 2017 года из-за перенесённого инсульта потерял речь и координацию движений.