Алексей Барабаш родился 12 июня 1977 года в Ленинграде. Бабушка, Галина Францевна Русецкая, была актрисой Театра комедии Акимова.
В 1997 году окончил Санкт-Петербургский гуманитарный университет профсоюзов, мастерскую Зиновия Яковлевича Корогодского, и был зачислен в труппу Санкт-Петербургского Театра юного зрителя под руководством Анатолия Аркадьевича Праудина.
- «Конёк-горбунок» по П. П. Ершову, реж. А. А. Праудин — Иван
- «Бонжур, мсье Перро», реж. З. Я. Корогодский — Жан
В 1998 году перешёл в Театр «Балтийский дом», где Анатолий Праудин создавал экспериментальную сцену.
- «Крокодил», реж. А. А. Праудин — Матрос
- «Сизиф и Камень», реж. А. А. Праудин — Тезей
- «Урок первый. Воскресенье», реж. А. А. Праудин — Четвёртый
В 2000 году Алексей Барабаш ушёл из репертуарного театра и начал карьеру в кино.
