Алексей Барабаш родился 12 июня 1977 года в Ленинграде. Бабушка, Галина Францевна Русецкая, была актрисой Ленинградского академического театра комедии имени Н. П. Акимова.
В 1997 году окончил факультет искусств (кафедра режиссуры и актёрского искусства) Санкт-Петербургского гуманитарного университета профсоюзов (СПбГУП) (мастерская Зиновия Яковлевича Корогодского), и был зачислен в труппу Санкт-Петербургского театра юных зрителей имени А. А. Брянцева под руководством Анатолия Аркадьевича Праудина.
В 1998 году перешёл в Санкт-Петербургский государственный театр «Балтийский дом», где Анатолий Праудин создавал экспериментальную сцену.
В 2000 году Алексей Барабаш ушёл из репертуарного театра и начал карьеру в кино.
