Томм Мур родился 07 января 1977 года в Ньюри (графство Даун, Северная Ирландия) в многодетной семье из четырёх детей (он был старшим ребёнком). В раннем возрасте он переехал со своими родителями в Килкенни в Ирландии, где его отец работал инженером. Заинтересовался мультипликацией в возрасте одиннадцати-двенадцати лет. В детстве находился под большим влиянием творчества Дона Блута и Хаяо Миядзаки. В четырнадцать лет вместе со своим другом Стюартом Россом, ставшим впоследствии одним из руководителей «Cartoon Saloon», посетил студию Дона Блута и познакомился с самим режиссёром. В подростковом возрасте он занимался в Young Irish Film Makers — студии, где подростки в возрасте с 3 до 20 лет могут освоить цифровую мультипликацию и даже снять свои первые фильмы. После окончания престижного римско-католического St Kieran's College в Килкенни, изучал классическую анимацию в Ballyfermot College of Further Education в Дублине.
В последний год обучения в Ballyfermot College в 1998 году Мур стал соучредителем анимационной студии Cartoon Saloon (совместно с Полом Янгом и Норой Твоми). Первым проектом студии стал телесериал Skunk Fu! (2007—2008). Сериал стал значительным событием в Ирландии и получил награду Irish Film & Television Academy в 2008 году в номинации Лучший анимационный фильм (он также был номинирован в категории Лучший фильм для юношества). Однако участие самого Томма Мура в этом проекте было незначительным и широкой известности он ему не принёсло. Тогда же, в 1998 году, Мур стал художником-постановщиком игрового телевизионного фильма «Под ветвями боярышника» по роману Конлон-Маккенн, Марита. Мрачная и жестокая история путешествия трёх подростков в 1845 году к своим дальним родственникам через всю Ирландию, охваченную Великим голодом, получила адекватное выражение в работе Томма Мура.
Томм Мур работал художником на короткометражном мультфильме Твоми, Нора «Cúilín Dualach» (2004 год, победитель Irish Film and Television Awards 2005 в номинации Лучшая анимация), участвовал в качестве актёра в телесериале «Последний звонок с Карсоном Дэйли» (с 2002 года), аниматором на съёмках полнометражного мультфильма "Три Волхва" (2003 год, этот мультфильм стал заметным событием, режиссёр Антонио Наварро) и короткометражного мультфильма «Old Fangs» (2009 год).
