В 1970—1972 годах училась в Американской академии драматического искусства. Брэниган начинала карьеру, выступая в мюзиклах. В 1970-е годы работала бэк-вокалисткой у Леонарда Коэна.
Начало сольной карьеры было сопряжено для неё с судебными разбирательствами, но к 1982 году эти неприятности были в прошлом, и Брэниган выпустила дебютный альбом танцевальной музыки. По рекомендации Atlantic Records Лора изменила год рождения с 1952-го на 1957-й. Песня «Gloria» достигла в Billboard Hot 100 второго места и была номинирована на «Грэмми», а в Германии стала самым крупным хитом года, положив начало эпохе евродиско.
Если популярность Брэниган в США оказалась невысока, то на европейском рынке ей удалось закрепиться в качестве одной из самых успешных исполнительниц десятилетия. Её визитной карточкой стал хит в стиле диско/нью-вейв «Self Control» из одноимённого альбома 1984 года. Музыка и сценический образ Брэниган послужили образцом для многих европейских проектов тех лет. В 1984 году Браниган также одержала победу на престижном музыкальном телефестивале Tokyo Music Festival в Японии с композицией «The Lucky One».
В 1990-е годы новые записи Брэниган появлялись нерегулярно, как например, записанная вместе с Дэвидом Хассельхоффом в 1994 году тема к сериалу «Спасатели Малибу».
С годами она всё меньше пела и больше играла в телесериалах. Положительные отзывы получило исполнение ею роли Дженис Джоплин в бродвейском мюзикле «Love, Janis».
Скончалась 26 августа 2004 года во сне в своём доме в Нью-Йорке от разрыва аневризмы головного мозга. Тело Брэниган было кремировано, а прах — развеян над проливом Лонг-Айленд.
