Джош родился 27 февраля 1981 года в Лос-Анджелесе (штат Калифорния). Его отец по происхождению украинско-польский еврей из Бердичева (ныне Житомирская область, Украина), а у матери норвежские корни. Ровно через четыре года после рождения Джоша, 27 февраля 1985 года в семье родился брат Джоша — Кристофер.
Сначала он учился в обычной школе, однако потом перевелся в «Bridges Academy», которая позволила совмещать учёбу и занятия в театральных классах. Гробан также посещал Лагерь искусств Интерлохена (Interlochen Arts Camp) в Мичигане по специальности «музыкальный театр» в 1997 и 1998 и брал частные уроки по вокалу. В 1998 году его преподаватель по вокалу Сэт Риггс дал продюсеру Дэвиду Фостеру кассету с записью Джоша, на которой он исполнял арию из Призрака Оперы «All I Ask of You». Запись очень понравилась Фостеру и в январе 1999 года Джош исполнил эту арию на концерте в честь инаугурации губернатора Калифорнии Грея Дэвиса, который устраивал Фостер. А в феврале Джош заменил Андреа Бочелли на репетиции церемонии Грэмми, где он пел «The Prayer» с Селин Дион.
В 1999 году Гробан закончил Окружную высшую школу искусств Лос-Анджелеса (Los Angeles County High School Arts) по специальности «театр», после чего стал посещать Университет Карнеги — Меллон в Питтсбурге, где изучал драму.
