Анна Меликян родилась 8 февраля 1976 года в Баку. В возрасте 17 лет переехала в Москву.
В середине 1990-х годов писала сценарии для рекламных роликов и телевизионных программ, работала в команде Евгения Гинзбурга, принимала участие в создании «новогодних огоньков» и шоу-программ. В 1995 году — режиссер-постановщик церемоний открытия и закрытия Московского международного кинофестиваля.
В 2002 году окончила режиссёрский факультет ВГИК, (мастерская С. Соловьёва, В. Рубинчика). В 1999 году в качестве курсовой работы был снят фильм «Полетели» с Нелли Уваровой в главной роли. В начале 2000-х годов принимала участие в выпуске программы Ольги Шакиной «Путеводитель» (ТВС).
Первым полнометражным фильмом стал «Марс», премьера которого состоялась в 2004 году на Берлинском кинофестивале. Второй полнометражный фильм «Русалка» снятый с участием актрисы Марии Шалаевой, получил приз за лучшую режиссуру на кинофестивале «Сандэнс», приз ФИПРЕССИ на Берлинском кинофестивале и в 2008-м году был номинантом от России на Оскар. За фильм «Звезда» в 2014 году получила приз за лучшую режиссуру на фестивале «Кинотавр». В 2015 году за фильм «Про любовь» получила на «Кинотавре» два главных приза — Гран-при за лучший фильм и приз жюри кинопрокатчиков.
Американский журнал «Variety» включил Меликян в десятку самых перспективных режиссёров мира.
Создала кинокомпанию «Магнум».
