Окончил Московский индустриальный техникум, но очень скоро у него обнаружились незаурядные способности художника. В 1932 году Давыдов выиграл конкурс художников-карикатуристов, а в 1934 году окончил курсы художников-карикатуристов при журнале «Крокодил». В 1937 году Давыдов поступил на курсы художников-мультипликаторов, при студии «Союзмультфильм» и долгие годы работал художником мультипликатором с ведущими режиссёрами Полковниковым, Бабиченко, Ивановым-Вано, Пащенко и другими.
В 1956 году состоялся дебют Романа Давыдова режиссёра в кукольном мультфильме «Колобок», а затем в мультфильме «Три медведя» (1958). В 1966 году Давыдов начал работу фильмом по «Книге джунглей» Киплинга Редьярда. В 1967—1971 годах вышел сериал из пяти частей «Маугли», ставший этапной работой для всей студии «Союзмультфильм» заслужившим высокую оценку коллег и любовь зрителей.
Большую известность также получили работы Давыдова в жанре исторических и сказочных мультфильмов «Детство Ратибора», «Лебеди Непрядвы», «Сказ о Евпатии Коловрате».
Преподавал на курсах обучения и повышения квалификации художников-мультипликаторов.
Отец режиссёра-мультипликатора Александра Давыдова.
Умер 17 сентября 1988 года. Похоронен на Даниловском кладбище (уч. 4).
